НОВАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ОРГАНИЗМИКА

---

Физика

Разделы Организмики

Информационная механика

В.Ф. Дмитриев, академик АФН, д.т.н.,
«Organizmica», № 1 [13], 2008

Подписка на журнал «Organizmica» в каталогах:
«Роспечать» - 82846; «Пресса России» - 39245

По теории академика Тюняева А.А. мир состоит лишь из информации, взаимодействующей с информацией [1, 2]. В то же время современная механика не использует понятие информации [3, 4, 5], но лишь использует понятия массы и энергии. Для введения в механику информации необходимо использовать при описании механических процессов криволинейную систему координат (СК). Криволинейная СК широко используется в механике, но лишь в конкретном для каждого случая виде.

1. Введение

Так, первая научная теория движения планет была создана Коперником [6]. По его представлениям планеты вращаются вокруг Солнца по сферическим окружностям.

Уравнения окружности имеет вид в декартовой гелиоцентрической земной СК:

где: R – радиус орбиты планеты;

φ₀ – угол между плоскостью эклиптики и плоскостью орбиты планеты.

При совпадении оси узлов с осью ОХ координаты точек орбиты планеты в декартовой гелиоцентрической планетной СК имеем уравнение орбиты:

Дальнейшее развитие теория движения небесных тел получила в трудах И. Кеплера. Им были установлены три закона движения планет, в частности закон о движении планет вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которых находится Солнце [7], [8].

Уравнение движения по эллипсу записывается в полярных координатах (цилиндрических для пространственного движения) в виде:

где: - эксцентриситет эллипса [9];

a – большая полуось эллипса;

b – малая полуось эллипса;

ϑ - полярный угол;

r₀ – полярный радиус при ϑ₀

Дальнейшее развитие теория движения космических тел было сделано трудами И. Ньютона. Его три закона механики совместно с законом всеобщего тяготения определяют возможность расчета движения планет по системе дифференциальных уравнений [10, 11].

Новый шаг в теории движения планет и других небесных тел был сделан А. Эйнштейном в его общей теории относительности [12], [13]. Информационное уравнение в теории относительности записывается в виде уравнения для тензора кривизны в зависимости от тензора энергии – импульса.

Однако многие практические потребности людей в настоящее время удовлетворяются теорией Ньютона, не учитывающие релятивистские эффекты. Вместе с тем надо отметить, что форма записи уравнений Ньютона для расчета движения планет, космических аппаратов, ракет в зависимости от используемой системы координат является разной.

При записи законов Ньютона в разных системах координат получаются разные виды уравнений. Для инвариантной (независимой от используемой системы координат) записи необходимо использовать тензорную форму записи законов Ньютона.

Изучение механики твердого тела обычно строится по индуктивному методу – от частного к общему. Однако более коротким способом обучения является использование дедуктивного метода – от общего к частному. В предлагаемой работе исходными уравнениями являются законы физики для абсолютно твёрдого тела.

В качестве математического аппарата используется тензорное исчисление [3, 4, 5, 9]. Тензорное исчисление наиболее адекватно отражает законы механики в криволинейной системе координат, так как геометрические параметры в криволинейной СК (например, угол между векторами) могут быть точно выражены лишь при использовании тензоров. Тензорная форма записи дает возможность составит программу расчета для ЭВМ, способную производить расчет движения твердых тел в разных системах координат.

Информационное уравнение об используемой СК представляет собой выражение зависимости метрического тензора G_εζ от положения рассматриваемой точки.

Для декартовой СК xyz:

Для цилиндрической СК ρ, φ, z_ц:

Для сферической СК r, ϑ, φ:

2. Механика абсолютно твёрдого тела

Абсолютно твёрдое тело (ТТ) характеризуется неизменностью расстояния как линейного, так и углового между частицами (атомами или молекулами) этого тела, которые движутся как единое целое. Часто ТТ взаимодействуют между собой, образуя систему твёрдых тел.

Закон сохранения энергии для системы абсолютно твёрдых тел выражается общим уравнением механики: сумма работ всех, приложенных к телам сил (включая инерционные) равна нулю.

Общее уравнение механики [5] имеет вид:

где: F_n – обобщённые внешние силы;

Φ_n – обобщённые cилы инерции;

R_n – обобщённые реакции связей;

δx_n – обобщённые возможные перемещения;

N – число твердых тел систем.

Закон сохранения массы твёрдых тел переменной массы выражается уравнением [14]:

где: q_n – плотность отделяемых частиц;

v_n – скорость отделяемых частиц; если частица присоединяется, то v_n > 0;

S_n – площадь отделения частиц.

Для записи используемых уравнений используется тензорная форма, как наиболее универсальная. По повторяющимся верхним и нижним символам подразумевается суммирование.

2.1. Система уравнений движения твёрдых тел

Совместное движение системы твёрдых тел описывается общим уравнением механики (5). Имея в виду независимость возможных перемещений из уравнения (5) следует уравнения динамики для поступательного и углового движения тел переменной массы (ТПМ) [15 – 17]:

Здесь: F^η_вн, M^η_вн - внешние силы и моменты (включая реактивные);

F^η_ин, M^η_ин – инерционные силы и моменты;

F^η_св, M^η_св – силы и моменты реакций связи.

В число внешних сил в соответствии с [5, 17] входят реактивные силы, силы упругого взаимодействия тел и силы диссипативного взаимодействия. Силы и моменты реакций связи действуют в точках контакта тел по нормали к поверхности (при неучете сил трения).

Инерционные силы для твёрдого тела переменной массы (ТПМ) в движении относительно инерциальной СК могут быть записаны в виде [3, 5, 18]:

Инерционные моменты для ТПМ записываются в виде [3, 5, 18]:

В приведенных уравнениях:

t – время;

- абсолютная скорость начала связанной с твёрдым телом системы отсчёта (СО) относительно базисной системы отсчёта;

(х^ν_ам) - положение центра масс ТТ относительно СО, связанной с телом;

ω^ν_а - угловая скорость ТТ относительно базисной СО;

J^η_aρ - момент инерции ТТ в компонентах связанной с ТТ СО;

G^ηρ - метрический тензор СК;

X^η_μν - дискриминантный тензор.

Скалярное произведение векторов в тензорной форме имеет вид:

и векторное произведение векторов имеет вид:

В уравнении (7) первое слагаемое есть инерционная сила, вызванная поступательным ускорением начала СК; второе слагаемое – инерционная сила вызванная угловым ускорением ТТ; третье слагаемое – инерционная сила, вызванная угловой скоростью ТТ. Последние две силы равны нулю при совпадении начала СК и ЦМ.

В уравнении (8) первое слагаемые есть инерционный момент, вызванный ускоренным вращением тела вокруг начала СК, второе слагаемое – инерционный момент, вызванный вращение ТПМ вокруг начала СК, третье слагаемое – инерционный момент, вызванный ускорением начала СК. Третий момент при совпадении начала СК и ЦМ равен нулю.

Уравнения движения для тела переменной массы (ТПМ) содержат члены, зависящие от скорости перемещения центра масс тел в переносном движении связанной СК.

Уравнения (7) и (8) в разных системах координат имеют различный вид. Подставляя выражения для скалярного (10) и векторного (11) произведений, находим уравнения движения ТТ.

Для системы взаимодействующих ТТ вследствие наличия связей на возможные перемещения ТТ, количество уравнений может быть уменьшено на количество уравнений связей. Если связи голономные (интегрируемые), то уравнения связей позволяют уменьшить число обобщенных координат в уравнениях Лагранжа рассматриваемой системы твердых тел [4, 14].

Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид [4]:

где: I - число степеней свободы;

q_i - обобщенные координаты;

- обобщенные скорости;

F_i - обобщенные силы.

Функция Лагранжа может быть записана в виде:

где: T - кинетическая энергия ТТ;

H - потенциальная энергия.

В частности, в криволинейной СК кинетическая энергия тела, а относительно инерциальной СК может быть записана в виде [16]:

Для иллюстрации приведенного метода расчета получим уравнения движения некоторых твердых тел.

2.2. Пример расчёта

Получить уравнения движения космического аппарата (КА) вокруг планеты Земля относительно вращающейся геосферической СК [18] в компонентах вращающейся геосферической СК.

Считаем планеты и Солнце абсолютно твердыми телами.

Располагая начало связанной с КА СК в центре масс СК, имеем для поступательного уравнения движения КА:

где: F^π - контравариантные составляющие активных сил;

P^π - контравариантные составляющие реактивных сил;

Q_a - масса КА.

Пренебрегая силой трения и влиянием тяготения других планет, имеем:

Реактивная сила в контравариантных компонентах равна [9]:

Физические компоненты сил равны [9]:

Полученные системы уравнений позволяют, с одной стороны, учесть неравномерность вращения Земли на расчет КА, с другой стороны, учесть влияние изменения вектора свободного падения по величине и направлению на движение КА.

Уравнение вращательного движения КА относительно инерциальной СК можно записать в компонентах связанной с КА декартовой СК:

M^η_F - составляющие активных моментов;

M^η_P - составляющие реактивных моментов;

Уравнения могут быть применены при создании инерциальной системы управления КА.

Принимая линейную скорость Земли постоянной и угловую скорость Земли постоянной, начало связанной с КА СК в центре масс КА имеем уравнения движения при

- для сферической СК исходя из определения контравариантных компонент вектора [9].

Таким образом, получаем уравнение:

Здесь r, ϑ, φ - координаты начала связанной с КА СК относительно экваториальной геосферической - II СК.

Полученные уравнения поступательного движения уточняют уравнения движения КА относительно вращающейся СК в компонентах геосферической экваториальной СК [18].

Уравнение вращательного движения КА относительно инерциальной СК: можно записать в компонентах связанной с КА декартовой СК:

Выводы

Таким образом, путем использованием метрического тензора может быть введена информация об используемой системе координат в уравнения механики, что подтверждает постулаты работ [1, 2].

Литература:

1. Тюняев А.А., Организмика – фундаментальная основа всех наук. Том 1. - М.: Ин, 2000. – 368 с.
2. Тюняев А.А., Теоретические основы науки «Организмика» // Международный научный журнал «Организмика», 2005. - № 2, № 3.
3. Коренев Г.В., Введение в механику управляемого тела. – М: Наука, 1964. – 568 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика. – М: Наука, 1971, т. 1. – 203 с.
5. Коренев Г.В., Целенаправленная механика управляемых манипуляторов. – М: Наука, 1979. – 447 с.
6. Copernicus N., De revolutionibus orbium coelestium. - Nurnberg. - 1543.
7. Kepler J., Astronomia Nova. - Praga. - 1609.
8. Kepler J., Harmonice munde. - Linz. - 1619.
9. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике. – М: Наука, 1973. – 831 с.
10. Дубошин Г.Н., Небесная механика. - М.: Наука, 1968. – 799 с.
11. Newton I., Phlosphiae naturalis Principia mathematica. - Cambridge, 1687.
12. Einstein A., Zur Elektrodynamik bewegter korper. - Annalen der Physik, 1905. -Bd. 17 - H.5.
13. Einstein A., Die Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie. - Annalen der Physik, 1916. - Bd. 49. - № 7.
14. Новоселов В.С., Аналитическая механика систем с переменными массами. – Л.: Из-во ЛГУ, 1969. – 240 с.
15. Дмитриев В.Ф., Мунипов Р., Уравнения движения тела переменной массы / Сборник трудов МГУ, ЛГУ, ПГУ, МАИ: Проблемы механики. – Пермь: Из-во Пермского университета, 1988.
16. Дмитриев В.Ф., Исследование совместного пространственного движения твердых тел и обтекающего их газа // Известия ТулГУ. – 1991.
17. Дмитриев В.Ф., Космические системы. – Тула: ФГУП «ГНПП «Сплав»», 2000. – 64 с.
18. Горбатенко С.А., Макашов Э.М., Полушкин Ю.Ф., Шефтель А.В., Механика полета: Справочник. – М: Машиностроение, 1989. – 420 с.